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infinito

Definition:
VIDE Infinito

O conceito de infinito envolve a negação de limites (finito). Infinito, sob certo respeito, é o que carece de limites em relação a determinadas propriedades, perfeições; infinito, simplesmente, é o que carece de limites sob qualquer ponto de vista, ou seja, com respeito ao ser em geral. — Na filosofia grega, que considerava como perfeito o que possuía forma e, portanto, limites, o infinito (apeiron) era expressão do inacabado, do indeterminado, e, por consequência, do imperfeito. Assim, para Aristóteles como também para a escolástica, a matéria prima é infinita, enquanto não está determinada por forma alguma, mas é (de maneira sucessiva) meramente determinável por tantas formas quantas se queira. Diante da infinidade material encontra-se a infinidade da forma relativamente aos sujeitos individuais, nenhum dos quais pode exauri-la. A escolástica distingue, outrossim, o infinito potencial ou indefinido, que, sendo finito em si, é potencialmente (potência) infinito, porque pode ser aumentado ou diminuído sem fim (infinita neste sentido é a divisibilidade ou multiplicabilidade de um número), e o infinito atual ou infinito propriamente dito, que exclui positivamente todo limite, e para além do qual, no aspecto respectivo, nada pode haver. Segundo o tomismo, a forma e o ato puros possuem esta infinidade. — A matemática chama infinito mente grande à grandeza maior que qualquer conjunto numerável integrado pelas grandezas tomadas como unidade; e infinitamente pequena, a que o é de tal sorte que todo múltiplo da mesma é menor do que a unidade. Ao cálculo com o infinito matemático dá-se o nome de cálculo infinitesimal. É questão controvertida a possibilidade, pelo menos em abstrato, de uma multidão atualmente infinita. Seja como for, não pode denominar-se infinito um número, se o termo "número" for tomado no sentido de uma multidão susceptível de ser completamente contada numa pluralidade finita de parcelas. — A infinidade de Deus é infinidade atual, em ato, e significa a plenitude ilimitada do Ser divino; exprime, por conseguinte, a infinidade absoluta, isto é, a perfeição suprema de Deus, que não pode entrar em nenhuma categoria finita e que, portanto, supera todos os graus ontológicos do ser criado. Inclui em si a mais elevada simplicidade. Não é a totalidade do ser, como o panteísmo opina, nem encerra o ser individual das criaturas enquanto tal, mas possui de modo superior as perfeições ontológicas peculiares às mesmas (como, p. ex., um sábio matemático possui o saber de seu discípulo. — Rast. [Brugger]




O conceito de infinito pode ser entendido de várias maneiras: 1) o infinito é algo indefinido, por carecer de fim, limite ou termo. 2) o infinito não é definido nem indefinido, porque em relação a ele carece de sentido toda a referência a um fim, limite ou termo. 3) O infinito é algo negativo e incompleto. 4) O infinito é algo positivo e completo. 5) O infinito é algo meramente potencial: está sendo, mas não é. 6) O infinito é algo atual e inteiramente dado. A noção de infinito num sentido, para já, muito amplo deste conceito, que inclui o ilimitado e o indefinido aparece já nos pré-socráticos. Os átomos de que Demócrito falava são infinitos em número, também é infinito o vácuo no qual os átomos se encontram. Tem-se discutido se o ser de Parmênides é finito ou infinito, mas como Parmênides o compara com uma esfera “muito arredondada” parece que se trata de algo finito, a menos que seja algo que, o ser perfeito, é simultaneamente infinito (por não ter fim) e fechado. O problema do infinito como problema da infinita divisibilidade do contínuo, aparece em Zenão de Eleia. Em rigor, os “paradoxos de Zenão de Eleia” foram decisivos para não poucas das especulações posteriores acerca da questão do infinito.

A noção de infinidade aparece em Platão ao tratar de conceitos como a unidade ou “o uno”. Estas unidades são subtraídas ao nascimento e à morte e são, por isso, eternas, mas podem aplicar-se às coisas que “devêm” e à infinidade delas. Platão indica que há em todos os seres o limitado e o ilimitado. O ilimitado é imperfeito, ao passo que o limitado é perfeito. o ilimitado é um princípio de geração e de corrupção, embora não seja o único princípio: junto a ele há o limitado, a existência produzida pela mistura de ambos, e a causa da mistura, o eterno, é “o não limitado”. Há no pensamento platônico certa ambiguidade, difícil de desentranhar, em relação ao infinito que aparece quer como positivo, quer como negativo.

Aristóteles foi frequentemente citado nos princípios da época moderna como o filósofo que advogou por um universo fechado e limitado, em vez de um universo aberto e limitado (em rigor, infinito) de muitos autores modernos. E em muitos sentidos pode dizer-se que, com efeito, Aristóteles foi um finitista. Não obstante, a ele se deve uma das mais influentes análises da ideia de infinito, e a proposta de que quando se trata desta noção se pode aceitar num sentido, mas não noutro. Com o fim de resolver os paradoxos de Zenão de Eleia e, em geral, os que derivam da noção do contínuo, Aristóteles estabeleceu a clássica distinção entre o infinito potencial e o infinito atual. Só o infinito como infinito potencial é admitido por Aristóteles tanto na série numérica como na série de pontos de uma linha. A série numérica - e também a dos pontos de uma linha e a divisibilidade de qualquer linha - é potencialmente infinita. Quanto à série causal, poderia ser potencialmente infinita, mas Aristóteles afirma que tem de ter um fimnum primeiro princípio incausado. É claro que o infinito potencial pode aparecer sob duas formas. Como infinito potencial por divisão (assim, à linha infinitamente divisível) como o infinito potencial por adição (assim, a série numérica). Ora bem, Aristóteles aceita apenas o infinito potencial, por vezes chamado negativo.

Segundo Aristóteles, a crença no infinito deriva de vários motivos: 1) da infinidade do tempo; 2) da divisibilidade das grandezas; 3) do fato de a perpetuidade da geração e da destruição apenas poderem manter-se se puderem ser extraídas de uma fonte infinita; 4) do fato do ilimitado ser sempre limitado por qualquer coisa, e 5) do fato de não haver limite no nosso poder de pensar a infinidade do número, das grandezas e do que há “fora do Céu”. Convém ver se temos de tratar do infinito como substância, do infinito como atributo essencial de uma coisa ou do infinito como algo infinito por acidente em extensão ou em quantidade. Daí a necessidade de distinguir vários sentidos do termo infinito: a) Aquilo que por natureza não pode ser atravessado ou percorrido; b) o que para nós tem um percurso interminável ou incompleto; c) o que, sendo atravessável por natureza, não se pode atravessar ou percorrer. A definição que Aristóteles propõe - o infinito não é aquilo para lá do qual nãonada, mas aquilo para lá do qual há alguma coisa - confirma, portanto, a mencionada tentativa para a consideração negativa, potencial, do infinito.

Tem-se observado amiúde que depois de Aristóteles abriu caminho cada vez mais com maior força no pensamento antigo e especialmente no pensamento grego a ideia de do infinito, e com isso a ideia de que o infinito é de algum modo tratável e compreensível. Junto a isso abriu caminho a ideia de que o infinito pode não ser completamente negativo.

Os estoicos opuseram-se à ideia aristotélica de um movimento finito, e conceberam o cosmos como realidade existente dentro de um vácuo que se estende de qualquer parte ao infinito. além disso, defenderam a doutrina do eterno retorno e de algum modo concluíram que há sucessivamente - uma infinidade de mundos. Por isso, haverá de novo um Platão, um Sócrates e cada um dos homens com os mesmos amigos e os mesmos concidadãos, etc. Pode-se alegar que se há repetição não há, propriamente falando, infinidade, mas cabe observar que há pelo menos uma infinidade de repetições (possíveis).

Dentro do pensamento cristão, o problema do infinito tem estado ligado ao problema da eternidade. Em todo o caso, os teólogos e filósofos cristãos elaboraram a ideia do infinito dentro da suposição de uma criação do nada. Como apenas Deus pode criar do nada, apenas de Deus pode dizer-se que é verdadeiramente eterno e infinito. A infinidade de Deus ultrapassa qualquer outra infinidade pensável - portanto, inclusivamente, a infinidade do tempo e do espaço, no caso de estes poderem ser admitidos como infinitos. A infinidade de Deus transcende, inclusivamente, a infinidade de todo o ser. A infinidade divina é, no cristianismo, absoluta e nunca relativa. Portanto, o seu amor, o seu poder e o seu saber são também infinitos. A infinidade de Deus é uma infinidade atual. Nisso se distingue Deus de qualquer outra realidade da qual possa de algum modo dizer-se “é infinita” - tal como a série dos números. Com efeito, a série dos números é para os teólogos e os filósofos cristãos apenas potencialmente infinita. O infinito atual não existe, portanto, nas coisas sensíveis e, em geral, no criado. Não há nenhum infinito atual em extensão ou em grandeza qualquer; só há um infinito atual, a absoluta infinidade da pura forma divina. Não devemos pensar que os escolásticos se ocuparam exclusivamente da questão do infinito sob o aspecto teológico e com o único fim de comparar o infinito de Deus com qualquer outro tipo sempre relativo de infinito. Especialmente durante os séculos treze e catorze, muitos escolásticos dilucidaram a questão do significado de termos como infinito, infinidade, etc, em relação a problemas como se há ou não há as chamadas partes mínimas que compõem os corpos naturais especialmente em relação com o problema da composição do contínuo. No que toca a este problema, muitos escolásticos puseram a questão de se o contínuo é composto de elementos, quaisquer que sejam, divisíveis ou de elementos indivisíveis. A maior parte dos filósofos consideraram que o contínuo é infinitamente divisível.

O interessante nas anteriores doutrinas, e especialmente nas discussões a que deram lugar, é que tornaram possível pôr problemas que iam mais além do marco clássico da concepção co infinito como infinito absoluto e em ato em Deus, e a concepção de infinito como infinito em potência e meramente em devir em toda a realidade criada. Nas discussões filosóficas (assim como lógicas e matemáticas) não se excluiu a questão da possível realidade do infinito em ato. E alguns autores aceitaram o infinito em ato e inclinaram-se para o que pode chamar-se um infinitismo.

No século dezassete destaca-se a concepção de Giordano Bruno que defendeu uma doutrina da infinidade do universo concebido não como um sistema de seres rígidos articulados numa ordem estabelecida desde a eternidade, mas como um conjunto que se transforma continuamente do inferior ao superior e deste àquele, por ser todo um e a mesma coisa, a vida infinita e inesgotável. Nesta ficam suprimidas todas as diferenças, que pertencem na realidade ao finito limitado. A infinidade espacial e temporal do universo corresponde á infinidade de Deus, está tanto no mundo como fora dele, é a causa imanente do mundo e está infinitamente por cima dele. Estas oposições paradoxais devem ser compreendida sob o mesmo aspecto sob o qual Nicolau de Cusa compreende a coincidência dos opostos no infinito. O universo está penetrado de vida, é um organismo infinito no qual se acham os organismos dos mundos particulares, dos infinitos sistemas solares análogos ao nosso. Essa infinidade de mundos é regida pela mesma lei, e é a mesma vida, o mesmo espírito e ordem e em última instância o mesmo Deus. A passagem do finitismo ao infinitismo verificou-se, sobretudo, durante o século dezassete, de variadíssimas maneiras. Em primeiro lugar, no decurso da revolução científica e filosófica. Depois pelos progressos do pensamento matemático. Numerosos e importantes trabalhos culminaram na descoberta praticamente simultânea por Leibniz e por Newton da análise infinitesimal ou cálculo infinitesimal (nas duas formas clássicas do cálculo integral e cálculo diferencial).

Quase todos os filósofos modernos, especialmente os racionalistas - que se ocuparam destas questões mais amiúde e mais em pormenor que os empiristas -, sustentam a infinidade do mundo e fazem amplo uso da noção de infinito nas suas especulações. Tal sucede com Descartes. O uso da noção de infinito num momento decisivo do seu pensamento aparece quando tenta provar a existência de Deus mediante o argumento ontológico. Descartes sublinha que um ser finito não poderia ter a ideia de “uma substância infinita, eterna, imutável, independente, omnisciente, omnipotente” se tal substância infinita (e perfeita) não tivesse, por assim dizer, depositado tal ideia no seu finito (discurso e meditações).

Descartes defendeu a ideia da infinidade do mundo, indicando que esta ideia não foi reprovada pela igreja, já que conceber a obra de Deus como algo muito grande é justamente honrar a Deus. Em Espinosa, a tendência infinitista caminha até desvanecer todo o finitismo. Não há nenhuma substância que não seja infinita, porque só há uma substância: “fora de Deus não pode dar-se nem conceber-se nenhuma substância”. Assim, tudo o que é absolutamente infinito é concebível a partir do que é absolutamente infinito. Tudo o que se segue de um atributo de Deus deve existir necessariamente e ser infinito. É verdade que se pode dizer que há coisas produzidas por Deus e que nelas, diferentemente de Deus, a essência não envolve a existência, do modo que tais coisas são finita.. Mas não só nenhuma destas coisas é substância sucede, além disso, que a sua realidade está ligada à da única e infinita substância. Nessa época não havia uma nítida separação entre a conceptualização científica (em particular, física) e a filosófica (ou, amiúde, metafísica e teológica). Assim, as ideias sobre o infinito elaboradas por Descartes e por Espinosa são importantes tanto para a concepção de Deus como para a concepção do mundo e, desde logo, para as concepções do espaço e do tempo. O mesmo sucede com muitas ideias de Newton e Leibniz. Mas o seu infinitismo é em muitos aspectos diferente do de Newton, e, portanto, do de Espinosa. O infinitismo de Leibniz é de caráter pluralista e corresponde à estrutura ao mesmo tempo pluralista e infinitista da sua metafísica monadológica. Tanto pelos seus trabalhos matemáticos como pelas suas concepções metafísicas, Leibniz outorga um lugar central à ideia do infinito. Em qualquer instância se encontra este autor com o infinito; não só no grande, mas também, e muito frequentemente, no pequeno. O que parece ser parte limitada, já indivisível, do universo, pulula com realidade; em cada universo parece haver infinitos universos. Além disso, a infinidade não é uma ideia incompreensível ou irracional - Não é, de qualquer modo, um mero sentimento de algo incomensurável. A infinidade ‘é justamente “mensurável”. Pode-se trabalhar com o infinito, pelo menos com os infinitamente pequenos; pode-se calcular com eles. Os filósofos chamados empiristas, embora se ocupassem também com o problema do infinito real, tenderam para analisar a questão do conhecimento do infinito e, em particular, a questão de como se chega a adquirir a ideia do infinito e de algo infinito. Locke ocupou-se da questão do infinito ao comparar as ideias de duração e de expansão. O que sobretudo importava a Locke era averiguar que espécie de ideia ou a de infinito e como se chega a ela. A este respeito pensa que finito e infinito são vistos como modificações da expansão e da duração. Não é difícil explicar como se obtém a ideia do finito, as porções de extensão que afetam os sentidos e os períodos ordinários de sucessão mede o tempo, levam consigo a ideia do finito. Quanto à ideia do infinito, obtém-se observando que podem ir-se juntando sem cessar porções de espaço a outras, e momentos do tempo a outros. Assim, Locke calcula que a ideia do infinito é de natureza adjectiva. Isto não significa sustentar que o espírito possui a ideia de espaço infinito que exista efectivamente, “as ideias não são provas das coisas”. Apenas do espaço e no tempo cabem ideias de infinito. Mas o infinito divino é qualitativo (refere-se à perfeição) e não quantitativo, como os do espaço e do tempo.

Kant tratou, na CRÍTICA DA RAZÃO PURA, da noção do infinito criticamente. Tal sucede na primeira das antinomias ou “primeiro conflito das ideias transcendentais”. Com efeito, a tese enuncia: “o mundo tem um começo no tempo e está também limitado no espaço. (ou o mundo é finito), ao passo que a antítese anuncia: “o mundo não tem começo e é ilimitado no espaço; é infinito em relação ao tempo e ao espaço” ou (o mundo é infinito). Do ponto de vista da razão pura, pode provar-se tanto a tese como a antítese, o que mostra que na ideia do infinito a razão se move no vácuo, sem os apoios que lhe proporcionam confinar-se dentro da experiência possível. A tese e a antítese são igualmente susceptíveis de prova justamente porque o objeto delas é não algo situado dentro do marco da experiência possível, mas uma “coisa em si”. Os que defendem a tese são os dogmáticos; os que defendem a antítese são os empiristas. Mas uns e outros dizem mais do que sabem. Tanto em Fichte como em Schelling e Hegel, a ideia de infinito é central. Mas é-o particularmente mem Hegel. Este filósofo refere- se com frequência ao infinito e à infinidade. Há, para já, várias formas de infinito; o infinito matemático, o infinitamente grande, a infinidade subjectiva, a infinidade objetiva, a infinidade positiva. Entre estes infinitos só o último é “o verdadeiro infinito.” Com efeito, nem o infinito matemático nem o infinitamente grande são propriamente “negação da negação”. A infinidade subjectiva e a infinidade objetiva são por si mesmas insuficientes; só se completam quando se unem por intermédio da razão. Em gera, trata-se de uma infinidade negativa ou infinidade má e uma infinidade positiva - também chamada infinidade afirmativa e verdadeira infinidade. A infinidade negativa ou má não é senão a negação do finito. A infinidade positiva, ou verdadeira infinidade, é, em contrapartida, a ideia absoluta; em rigor, o infinito enquanto positivo ou afirmativo é uma “nova definição do absoluto”. Assim, o infinito positivo é propriamente o “ser verdadeiro”; a infinidade é a determinação afirmativa (não negativa” do finito; se se quiser, o infinito positivo é “o que é verdadeiro em si”. Ora bem, o espírito ou infinito em sentido positivo e não em sentido negativo ou mau. O infinito negativo é o que é susceptível de crescer indefinidamente, ao passo que o infinito positivo, afirmativo ou verdadeiro está em completo, contem-se a si mesmo e está em si mesmo. É verdade que o espírito se manifesta também como finito, já que de algum modo o espírito é “o infinito em finidade”. Mas o manifestar-se como finito não o impede de ser ele mesmo, enquanto é em si mesmo positivamente infinito. A positividade completa do infinito dá-se quando a razão absorve os momentos do abstrato e do concreto, do universal e do particular; por isso o verdadeiro infinito surge apenas como Hegel proclama na Lógica, quando é absorvido completamente no positivo e absoluto não só o infinito abstrato do entendimento mas também o infinito concreto da razão.

No campo do pensamento matemático, tem-se discutido amplamente, desde o século dezanove até hoje, o problema do infinito. Tanto para o afirmar como para o negar têm-se esgrimido argumentos de considerável peso. Tem-se também debatido muito durante as últimas décadas a questão do infinito real, quer dizer, o problema de se saber se o universo é finito ou infinito. O mais habitual tem sido defender a concepção de que o universo é finito, embora não limitado, num sentido parecido àquele em que podemos falar da finalidade da finidade e não limitação da superfície de uma esfera. Juntamente com este problema tem-se discutido acerca da correspondência à realidade apenas dos termos das equações matemáticas que definem grandezas finitas ou se se pode aceitar tal correspondência também para equações matemáticas que definem grandezas infinitas. As opiniões sobre este último ponto têm estado mais divididas. Em rigor, há duas concepções fundamentais a este respeito: a primeira, que nega a correspondência com a realidade de tais equações (pelo menos no que toca a algumas grandezas, tal como a energia). A segunda, que afirma a possibilidade de empregar tanto equações que definem grandezas finitas, como equações que definem grandezas infinitas (pelo menos no que toca a algumas grandezas, tais como o espaço). A primeira concepção baseia-se no realismo (físico), a segunda no operacionalismo (metodológico). Todas estas teorias empregam um instrumental conceptual consideravelmente mais refinado que o usado pelos filósofos clássicos que puseram a si mesmos os problemas do infinito e do conjunto. Todas elas, contudo, mostram que as questões suscitadas por tais filósofos, já desde os paradoxos de Zenão de Eleia, apontavam diretamente para o mesmo que se propõem dilucidar a ciência e a filosofia contemporâneas. [Ferrater]

Submitted on 25.08.2010 15:00
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