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Infinito

Definition:
(gr. apeiron; lat. infinitum; in. Infinite; fr. Infini; al. Unendlich; it. Infinito).

Este termo tem os seguintes significados principais, entre os quais existem algumas semelhanças: 1) Infinito matemático, que é a disposição ou a qualidade de uma grandeza; 2) Infinito teológico, que é a não-limitação da potência; 3) Infinito metafísico, que é a não-completude.

1) A concepção matemática do Infinito elaborou dois conceitos diferentes: d) Infinito potencial como limite de certas operações sobre as grandezas; b) Infinito atual como uma espécie particular de grandeza.

d) O conceito de Infinito potencial foi elaborado por Aristóteles, que negava que o Infinito pudesse ser atual, ou seja, real, tanto como realidade em si (substância) quanto como atributo de uma realidade (Fís., III, 5, 204 a 7 ss.). Isto quer dizer que o Infinito não é substância nem propriedade ou determinação substancial, mas que "existe somente de modo acidental" (Ibid., 204a 28), como disposição de grandezas. Que disposição? Aristóteles dá dois significados fundamentais de Infinito: no primeiro, Infinito é "aquilo que, por natureza, não pode ser percorrido", no sentido de que não pode ser visto. No segundo, Infinito é aquilo que pode ser percorrido, mas não todo, pois não tem fim; nesse sentido, é Infinito por composição, por divisão ou por ambas (Ibid., III, 4, 204 a 3). Ora, o Infinito em sentido matemático é só este último, ou seja, o Infinito que pode ser percorrido, mas nunca de modo exaustivo ou completo. Neste sentido, o Infinito é tal "que sempre se pode tomar algo de novo, e o que se toma é sempre finito, mas sempre diferente. Assim, não se deve tomar o Infinito como um ser singular, como p. ex. um homem ou uma coisa, mas no sentido em que se fala de um dia ou de uma luta, cujo modo de ser não é uma substância, mas um processo que, apesar de finito, é sempre, diferente" (Md., III, 6, 206 a 27). Portanto, não é Infinito aquilo fora do qual não há nada, como , je acredita comumente, mas sim aquilo fora do qual sempre há alguma coisa; consequentemente o Infinito participa mais do conceito de parte que do conceito de todo (Ibid., III, 6, 206 b 32; 3D7 a 27). Esse conceito aristotélico era utilizado por Lucrécio para defender a doutrina epicurista da infinidade do espaço, expresso com a imagem de uma flecha lançada a partir ‘ do limite extremo do universo, admitido por ‘ hipótese; quer a flecha encontre um obstáculo, ‘ quer continue além, o limite extremo do universo não é mais o mesmo porque é apenas o ponto de partida da flecha (De rer. nat., I, 967-982). Também nesta imagem Infinito é aquilo de que se pode sempre tomar uma parte, e aquilo que se toma é sempre finito mas sempre diferente. Este conceito de Infinito é essencialmente negativo: consiste na não-exauribilidade de determinadas grandezas submetidas a certas operações, que são a composição (acréscimo de partes sempre novas) e a divisão em partes sempre novas. A primeira operação tende ao infinitamente grande; a segunda, ao infinitamente pequeno (infinitésimo): ambas definem o conceito de Infinito como inexauribilidade de partes dentro de partes. Mas assim entendido o conceito é obviamente negativo: caracteriza a inexauribilidade ou incompletude de uma série. Justamente a esse respeito Plotino observou que Infinito é aquilo que não pode ser exaurido em termos de grandeza ou de número de suas partes (Enn., VI, 9, 6). E Kant, do mesmo ponto de vista, dizia: "O conceito verdadeiro (transcendental) de infinidade é que a síntese sequencial da unidade na medição de um quantum nunca pode ser acabada" (Crít. R. Pura, Dialética, cap. 2, seç. 2). Essa espécie de Infinito foi denominada pelos lógicos da Idade Média Infinito sincategoremático (syncategorematicum), que é o Infinito entendido como disposição (não qualidade) de um sujeito, distinto do Infinito categoremático, que seria o Infinito como qualidade ou como substância (Pedro Hispano, Summ. log., 12, 57; Ockham, InSent., I, d. 17, q. 8). Esse mesmo Infinito foi definido pela matemática do séc. XVIII e da primeira metade do séc. XIX mediante o conceito de limite (como o campo das séries, das sucessões, etc), mas os matemáticos daquela época não lhe atribuíram a posição de tipo de grandeza em si. Gauss dizia numa carta de 1831: "Protesto contra o emprego de grandeza Infinito como algo completo, emprego que nunca foi admitido em matemática. O Infinito é só uma façon de parler, a rigor, fala-se de limites, dos quais algumas relações são aproximadas quando se quer, enquanto a outras relações é permitido crescer além de qualquer medida", (cf. Geymonat, História e filosofia da análise infinitesimal, 1947, pp. 174-75). I paradossi dell’Infinito (1851) de Bernardo Bolzano é uma obra que marca a primeira abordagem decisiva de um novo conceito do infinito.

b) O segundo é o de Infinito categórico ou (menos propriamente se diz) atual, ao qual só a matemática moderna deu forma rigorosa. Contudo, a matemática chegou a esse conceito através das discussões tradicionais sobre os denominados paradoxos do infinito. Já R. Bacon, para refutar a infinidade do mundo, fazia notar que, a admitir-se o Infinito, deve-se concluir que a parte é maior que o todo a que pertence (Opus tertium, ed. Brewer, 41, pp. 141-42). Argumentos semelhantes foram repetidos frequentemente na escolástica do séc. XIV, que no entanto, com Ockham, deu a tais argumentos uma resposta que indica o caminho a ser depois seguido pela matemática da segunda metade do séc. XIX. De fato Ockham afirma: "Não é incompatível que a parte seja igual e não menor que seu todo porque isso acontece toda vez que uma parte do todo é Infinito (...) Isso também acontece na quantidade descontínua ou em qualquer multiplicidade, em que uma das partes tenha unidades não menores que as contidas no todo. Assim, em todo o universo não existe um número maior de partes que numa fava, porque numa fava há infinitas partes. Portanto, o princípio de que o todo é maior que a parte vale somente para todos os compostos de partes integrantes finitas" (Cent. Theol, 17 C.; Quodl, I, q. 9). Essa corajosa limitação do valor de um axioma, que então parecia evidente, não teve seguidores durante muito tempo. O próprio Galilei, para evitar a possibilidade de igualdade entre a parte e o todo (a propósito da relação entre os quadrados e a série natural dos números), afirmou que "os atributos ‘igual’, maior’ e ‘menor’ não têm lugar nos infinitos, mas só nas quantidades finitas" (Scienze nuove, op., VIII, p. 79), deixando assim inalterada a verdade do pretenso axioma. Este acabaria por ser derrubado, sendo declarado fruto de uma generalização falaz (cf. Russell, Principles of Mathematics, 1903, p. 360), só quando G. Cantor (Mathematische Annalen, entre 1878 e 1883) e Dedekind (Continuidade e números irracionais, 1872; O que são e o que devem ser os números, 1888) enunciaram um novo conceito de infinito, que consiste em tomar como definição de Infinito o que até então parecera ser o "paradoxo" do próprio Infinito: a equivalência da parte e do todo. Pode-se ilustrar essa concepção recorrendo ao exemplo dado por Royce (The World and the Individual, 1900-01; cf. o Ensaio complementar "O um, os muitos e o Infinito" anexo ao vol. 1 da obra). Suponhamos que exista um mapa idealmente perfeito, de tal forma que, se A é o objeto reproduzido e A o mapa, este esteja em correspondência com A de tal modo que para cada elemento particular de A (a, b, c) possa ser determinado em A’ algum elemento correspondente (a’, tí, cf), em conformidade com o sistema de projeção escolhido. Suponhamos além disso que esse mapa seja desenhado dentro e em cima de uma parte da superfície da região reproduzida, como p. ex. a Inglaterra. Se este mapa é — como deve ser por hipótese — idealmente perfeito, deve representar tudo o que existe sobre a superfície da Inglaterra, logo o próprio mapa. A representação deste último, sendo por sua vez perfeita, deverá conter a representação dele mesmo, e assim por diante, sem limite. Um sistema dessa espécie é claramente Infinito, não por ser inexaurível, mas por ser auto-representativo, ou melhor, auto-reflexivo. Em termos matemáticos, um conjunto auto-reflexivo é aquele que pode ser posto em correspondência biunívoca com algum subconjunto seu. Esse é o caso da série natural dos números, que pode ser posta em correspondência biunívoca com seus subconjuntos, como p. ex. os quadrados, os números primos, etc.

Segundo Cantor a potência comum de dois conjuntos entre os quais exista uma correspondência biunívoca é o "número cardinal" dos dois conjuntos. Esse número é chamado de transfinito quando o conjunto é equipotente a uma de suas partes ou de seus subconjuntos. Dessa forma, o conceito de número cardinal Infinito, que fora sempre negado como contraditório, ingressava na matemática. Mas logo deveria revelar-se fonte de novas dificuldades e problemas, que constituem os "paradoxos" da lógica moderna, conquanto não fossem de todo desconhecidos da lógica antiga (v. antinomia). Mas o conceito de Infinito matemático não foi modificado pelo estudo desses paradoxos e pelas soluções para eles propostas.

2) O segundo conceito de Infinito é de natureza teológica e surgiu no último período da filosofia grega, com Fílon e Plotino. Este último distinguira a infinidade do número, que é "inexauribilidade" (Enn., VI, 6, 17), da infinidade do Uno, que é entretanto "a não-limitação da potência" (Ibid., L’Infinito 9, 6). Com menor precisão de linguagem, esse conceito é expresso frequentemente pela escolástica da Idade Média. Tomás de Aquino, após observar que os primeiros filósofos tiveram razão em julgar Infinito o princípio das coisas "considerando que as coisas derivam do primeiro princípio ao Infinito", distingue o Infinito da matéria, que é imperfeição porque a matéria sem forma é incompleta, e o Infinito da forma, que é perfeição porque é da forma que não recebe o ser de outrem, mas de si mesmo, ou seja, de Deus (S. Th., I, q. 7, a. 1). Chamar a forma subsistente por si só de Infinito parece querer significar que o Infinito é aquilo que, para ser, não precisa de outra coisa, sendo portanto a ilimitada potência de ser. Não muito diferente é o sentido que parece ter a tese de Duns Scot sobre a infinidade como modo de ser de Deus. Duns observa que, se dissermos que Deus é supremo, estaremos conferindo a ele uma determinação que lhe cabe em relação às coisas que são diferentes dele: é supremo entre todas as coisas existentes. Mas se dissermos que é Infinito, estaremos dizendo que é supremo em sua natureza intrínseca, isto é, que transcende todo e qualquer grau possível de perfeição (Op. Ox, I, d. 2, q. 2, n. 17). A infinidade parece expressar aqui o . "quo maius cogitari nequit" de S. Anselmo, ou seja, as perfeições de Deus estão além de qualquer grau alcançável pelas perfeições finitas. A distinção cartesiana entre Infinito e indefinido , que atribui apenas a Deus o atributo da infinidade, parece coincidir mais com a distinção , entre o Infinito teológico e o Infinito matemático: distinção também encontrada em Locke (An Essay Conceming Human Understanding, II, 17,1) e Leibniz (Nouv. ess., II, 17, 2). Mas na filosofia moderna o conceito de Infinito como não-limitação da potência é realmente introduzido por Fichte, para quem o Eu é Infinito "suposto a partir de sua absoluta atividade", porquanto sua atividade não encontra limites ou obstáculos. Supondo-se, ao mesmo tempo, um não-Eu, o Eu limita-se e torna-se finito. Mas por fim "a finidade f deve ser anulada: todos os limites devem desaparecer e ficar apenas o Eu Infinito, como Uno e como Todo" (Wissenschaftslehre, 1794, 11, § 4, D). A contraposição hegeliana entre "falso Infinito" e "verdadeiro Infinito" constitui a melhor ilustração dessa noção de Infinito na filosofia moderna. A falsa infinidade é a infinidade matemática do progresso ao Infinito, pois este "para na declaração da contradição, contida no finito, de que este é tanto uma coisa quanto a outra coisa" (Enc., §94). O progresso ao Infinito remete ao além do finito, mas nunca alcança esse além; por isso, sua negação do finito é um "dever-ser" que nunca é um "ser". O verdadeiro Infinito desfaz essa contradição: nega a realidade do finito como tal e resolve-o em si. O verdadeiro Infinito, em outros termos, é aquilo que é, é a realidade. Ele "é e é determinadamente, existe, está presente. Só o falso Infinito está no além, sendo apenas a negação do finito como tal... A verdadeira infinidade tomada assim em geral, qual um existir colocado como afirmativo contra a abstrata negação, é a realidade em sentido mais elevado, não aquela anteriormente determinada como simples realidade. A realidade adquiriu aqui um conteúdo concreto. Real não é o finito, mas o Infinito" (Wissenschaft der Logik, I, I, seç. I, cap. II, C., trad. it., pp. 161-62). Nesse sentido, para usar uma frase do próprio Hegel, o Infinito é a "força da existência" (Fil. do direito, § 331, Zusatz), ou seja, a força graças à qual a razão habita o mundo e domina-o, sendo, portanto, não-limitação de potência (Enc., § 6). É bem conhecido o emprego que o próprio Hegel e toda a filosofia romântica do séc. XIX fizeram desse conceito de Infinito: ele serviu para justificar a realidade enquanto tal, o fato, e a repelir a pretensão de o intelecto "abstrato" julgar a realidade, de opor-se a ela e de nela inserisse com o compromisso de transformação. Segundo a noção de infinidade de potência, a realidade, toda a realidade em qualquer momento, é tudo aquilo que deve ser, uma vez que ao princípio que a rege não falta a potência necessária para a realização integral.

3) O terceiro conceito de Infinito é o correspondente metafísico do conceito matemático tradicional. Já vimos que, para Aristóteles, o Infinito nunca pode ser acabado, portanto nunca pode ser um todo, ele é parte, incompletude e inexauribilidade. Aristóteles, portanto, não concordava com Melisso, que denominara o todo de Infinito, e concordava com o pensamento de Parmênides, que o considerara finito (Eis., 6, 207 a 15). Mas essas determinações já haviam sido atribuídas ao Infinito por Platão: Infinito é aquilo que carece de número ou de medida, que é suscetível ao mais ou ao menos e portanto exclui a ordem e a determinação (Fil., 24 a 25 b). É este o conceito metafísico de Infinito, encontrado entre os gregos porque estreitamente ligado ao seu ideal moral de ordem e de medida. Historicamente falando, esse conceito não ultrapassou os limites da Grécia da idade clássica. [Abbagnano]

Submitted on 25.08.2010 15:02
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