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compatibilidade

Definition:
(in. Consistency. fr. Compatibilité; al. Widerspruchslosigkeit; it. Compatibilita).

Ausência de contradição como condição de validade dos sistemas dedutivos. "Toda verdade", dizia Aristóteles, "deve estar de acordo consigo mesma sob todos os aspectos" (An. pr., I, 32, 47 a 8). Todavia, foi só na matemática moderna, a partir de Hilbert, que a compatibilidade interna de um sistema dedutivo passou a ser o único critério de validade do próprio sistema. Segundo esse ponto de vista, diz-se que há compatibilidade no sistema em que não há nenhum teorema cuja negação seja um teorema; ou no qual nem todos os enunciados são teoremas. Essa segunda fórmula é ainda mais geral (cf. A. Church, Introduction to Mathematical Logic, 1959, § 17). Desse ponto de vista, a demonstração da compatibilidade torna-se a própria demonstração da validade de uni sistema bem como da existência das entidades a que ele faz a referência. Segundo Hilbert, a demonstração da compatibilidade não deveria fazer referência a um número infinito de propriedades estruturais das fórmulas ou a um número infinito de operações conformes. Nesse sentido, a demonstração deveria ser finitista, porque só assim seria absoluta. Mas justamente a não-possibilidade da demonstração absoluta da compatibilidade dos sistemas dedutivos foi provada pelo teorema de Gödel (1931). O teorema de Gödel não exclui que se possa provar a compatibilidade de um sistema dedutivo tomado como modelo, mas, por sua vez, a validade do modelo não poderá ser demonstrada. A compatibilidade "absoluta" foi, portanto, expulsa do domínio da matemática pelo teorema de Gödel, que estabelece, por isso mesmo, os limites do chamado formalismo. Realmente, nenhum sistema formalista pode oferecer a garantia da sua própria absoluta compatibilidade. Cf. W. V. O. Quine, Methods of Logic, 1950; J. Ladrière, Les limitations internes des forma-lismes, 1957; E. Nagel—J. R. Newmann, Gödel’s Proof, 1958 (v. Matemática, Prova). [Abbagnano]

Submitted on 20.01.2010 17:00
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