Search
Who is Online
24 user(s) are online (24 user(s) are browsing Léxico Filosofia)

Members: 0
Guests: 24

more...
Novos Termos
Termos Populares
Home Léxico Filosofia  Léxico Filosofia G  G geometria geometria
Léxico Filosofia

 Browse by letter 
 | 0  | 1  | 2  | 3  | 4  | 5  | 6  | 7  | 8  | 9  |  A  |  B  |  C  |  D  |  E  |  F  |  G  |  H  |  I  |  J  |  K  |  L  |  M  |  N  |  O  |  P  |  Q  |  R  |  S  |  T  |  U  |  V  |  W  |  X  |  Y  |  Z  |

geometria

Definition:
(gr. geometria; lat. Geometria; in. Geometry; fr. Géométrie; al. Geometrie; it. Geometria).

Em geral, a ciência que estuda as possibilidades métricas dos conjuntos. A estrutura métrica dos conjuntos pode ser considerada: 1) única e necessária, como foi considerada até a descoberta das geometrias não-euclidianas: nesse caso, a geometria será a descrição das determinações necessárias de tal estrutura (o espaço euclidiano) e assumirá a forma de um sistema dedutivo único e perfeito; 2) multíplice ou indefinidamente variável: nesse caso serão possíveis geometria diferentes, cujo objeto serão estruturas métricas espaciais diferentes ou dotadas de graus diferentes de generalidade. A primeira forma da geometria iniciou-se com Pitágoras e com Platão, tornando-se modelo das ciências dedutivas. A segunda iniciou-se com a descoberta das geometria não-euclidianas e sua expressão mais clara foi o "programa de Erlangen".

1) Segundo relato de Proclo (In Eucl., 65, 11, Friedlein), foi Pitágoras quem "deu forma de educação liberal ao estudo da geometria, procurando seus princípios primeiros e investigando seus teoremas do ponto de vista conceptual e teórico". Mas sabemos que é sobretudo a Platão que se deve a guinada conceptual e teórica da geometria. Platão contrapõe explicitamente ao uso prático da geometria, ou seja, ao uso que a subordina às necessidades cotidianas e portanto às exigências de construtores, estrategistas, etc, seu fim teorético, em virtude do qual ela tende a conhecer "aquilo que sempre é e não o que nasce e perece" (Rep., VII, 527b). Como todas as outras ciências propedêuticas, pertencentes à esfera do conhecimento racional ou dianoia, a geometria vale-se de "hipóteses" que sabe justificar; tudo o que ela faz é entrelaçar coerentemente "conclusões e proposições intermediárias" (Ibid., VII, 533c). Aristóteles também insistiu no procedimento abstrativo utilizado pela geometria. Disse: "O matemático constrói sua teoria eliminando todos os caracteres sensíveis, como o peso e a leveza, a dureza e seu contrário, o calor e o frio, bem como os outros contrários sensíveis, e fica apenas com a quantidade e a continuidade, às vezes em uma só dimensão, às vezes em duas, outras em três, bem como com os atributos dessas entidades que sejam quantitativos e contínuos; e não os considera sob nenhum outro aspecto" (Met., XI, 1061 a 29). Mas foi também graças a Aristóteles que a geometria ganhou organização lógica; de fato, essa organização, que se realizou plenamente nos Elementos de Euclides, no séc. III a.C., tem como modelo a ordem que, no Organon, Aristóteles considerara própria de toda ciência, qual seja: o ponto de partida são os primeiros princípios (definições, axiomas e postulados), passando-se à dedução rigorosa a partir desses princípios, sem recorrer à experiência ou a qualquer intuição. Mas essa mesma formulação lógica da geometria antiga esclarece a natureza de seu objeto. Como dizia Aristóteles, esse objeto é a quantidade contínua; e como dissera Platão, é "alguma coisa que é sempre", ou, na terminologia de Aristóteles, é uma substância ou essência substancial que, justamente por ser tal, pode ser definida, e cujas propriedades fundamentais o intelecto pode intuir, expressando-as nos axiomas. É preciso lembrar que, segundo Aristóteles, o procedimento dedutivo ou silogístico deve partir de premissas evidentes, intuídas pelo intelecto, e que essa intuição só pode existir com relação a propriedades ou a determinações necessárias da substância. O caráter substancial do objeto da geometria, no sentido exato e técnico que a palavra "substancial" tem em Aristóteles, é o pressuposto fundamental dessa fase conceptual da geometria. Isto quer dizer que o contínuo espacial, que é o objeto da geometria, é pressuposto, em seu modo de existência específica e em suas determinações necessárias, a partir das operações geométricas que a tomam como objeto. Esse contínuo é independente de tais operações porque é uma substância, porque é necessariamente o que é e não pode ser diferente. A necessidade intrínseca das definições e dos axiomas e o caráter indispensável dos postulados (que tampouco podem ser mudados) expressam, no âmbito desta fase conceptual, a necessidade do objeto da geometria, ou seja, do espaço. Este tem essência necessária, cujos princípios expressam as determinações imutáveis e cuja dedução silogística põe em evidência as determinações implícitas (mas igualmente necessárias). A interpretação do espaço feita por Kant, como "forma da intuição" ou "intuição pura", não constitui (e nem Kant teve essa intenção) uma inovação do conceito de geometria. Segundo Kant, o espaço como intuição pura devia exatamente servir para garantir à geometria seu papel de ciência que determina as propriedades do espaço apriori, ou seja, independentemente da experiência, e para garantir a tais propriedades seu caráter apoditico, ou seja, sua necessidade (Crít. R. Pura, § 3).

2) A segunda fase conceptual da geometria só começou quando se realizou plenamente o significado da descoberta das geometria não-euclidianas. O V postulado de Euclides provocara discussões desde a Antiguidade. No séc. XVIII, especialmente graças a Saccheri e de Lambert, e nos primeiros decênios do séc. XIX, graças a Legendre, essas discussões se acirraram, mas não levaram a conclusões, porque se achou absurdo admitir a possibilidade de uma geometria diferente da de Euclides. Só Gauss, Lobacevskij e Bolyai reconheceram e puseram em prática essa possibilidade. Em 1855, uma dissertação de Riemann, Sobre as hipóteses que fundamentam a geometria, mostrava como, com mudanças oportunas no V postulado, seria possível obter não só a geometria de Euclides e a geometria de Lobacevskij e Bolyai, mas também uma terceira geometria (que mais tarde foi chamada de Riemann). O V postulado de Euclides exige que só haja uma paralela para uma reta dada; a geometria de Lobacevskij e Bolyai exige que haja infinitas paralelas para uma reta dada. Riemann supôs que não houvesse paralela nenhuma para uma reta dada, o que produz uma geometria simetricamente oposta à de Lobacevskij e de Bolyai. A geometria euclidiana é válida para o espaço de curvatura constante nula. A geometria de Lobacevskij vale para o espaço de curvatura constante negativa. A geometria de Riemann vale para o espaço de curvatura constante positiva. Nesta última geometria, uma reta não pode ser prolongada até o infinito, mas é finita e fechada, e é a geometria que vigora na superfície da esfera (supondo-se que se considerem somente duas dimensões), portanto o modo mais natural de um navegador descrever o mundo. Assim, a geometria euclidiana tornava-se um caso particular de uma geometria bem mais ampla e geral, mas a verdadeira significação dessa descoberta só ficou clara alguns anos depois, em virtude do emprego de um conceito que fora utilizado desde o início pela chamada geometria projetiva. o conceito de transformação. A geometria projetiva, cujas primeiras menções se encontram nos trabalhos de Gaspard Monge (1746-1818), introduzia uma nova operação — a projeção —, que permite transformar uma figura em outra, cujas propriedades podem ser deduzidas das propriedades da primeira. O caráter peculiar dessas propriedades, como foi mostrado por Poncelet (Tratado das propriedades projetivas das figuras, 1822), consistia em sua invariância, ou seja, em permanecerem as mesmas ao longo das transformações que as figuras sofriam com a projeção. Em 1847, a geometria de posição de Staudt, realizando uma exposição rigorosa da geometria descritiva, mostrava que ela podia absorver em si toda a ciência geométrica. Nessa mesma linha, o passo decisivo foi dado por Felice Klein com seu programa de Erlangen, que constituiu a aula inaugural dada nessa Universidade em 1872. Segundo Klein, a geometria nada mais é que o estudo das propriedades invariáveis em relação a um grupo de transformações, entendendo por grupo de transformações um conjunto de transformações em que, ao lado de cada transformação também está a transformação inversa (a que destrói o efeito da primeira). Desse ponto de vista, as propriedades a serem consideradas "geométricas" dependem do grupo de operações considerado fundamental. Quando este último varia, também varia o significado do termo geometria. Cayley demonstrou que o grupo fundamental da geometria projetiva é mais amplo do que o das geometria métricas. Outra ampliação realiza-se quando se passa da geometria descritiva à topologia (ou analysis situs), que estuda as propriedades invariantes em relação ao grupo generalíssimo das transformações contínuas.

É fácil, portanto, perceber a diferença de postura conceptual da geometria contemporânea em relação à clássica. Ao contrário desta última, a geometria contemporânea não pressupõe o objeto de seu estudo (o espaço), ou seja, não pressupõe que tal objeto tenha propriedades necessárias, expressáveis em definições unívocas, em axiomas evidentes e em postulados inevitáveis. São consideradas objeto da geometria as propriedades que se mostrem invariantes por meio dos grupos de transformações, mas ao mesmo tempo procuram-se realizar tipos de transformações sempre diferentes e considerar, portanto, invariâncias cada vez mais gerais. A estrutura lógica dessa geometria obviamente nada mais tem a ver com a lógica aristotélica e com a estrutura da geometria euclidiana. Poincaré descreveu essa estrutura como de sistemas hipotético-dedutivos (v. convencionalismo). Ao mesmo tempo em que a forma lógica de tais sistemas é extremamente rigorosa e evita recorrer a elementos ou a operações intuitivas, essa geometria perdeu o caráter de necessidade racional que caracterizava a geometria clássica: seu objeto não é uma substância racional, mas as invariâncias que podem ser obtidas por meio de operações oportunas livremente escolhidas. [Abbagnano]

Submitted on 22.06.2010 18:06
This entry has been seen individually 2047 times.

Bookmark to Fark  Bookmark to Reddit  Bookmark to Blinklist  Bookmark to Technorati  Bookmark to Newsvine  Bookmark to Mister Wong  Bookmark to del.icio.us  Bookmark to Digg  Bookmark to Google  Share with friends at Facebook  Twitter  Bookmark to Linkarena  Bookmark to Oneview  Bookmark to Stumbleupon Bookmark to StudiVZ

Powered by XOOPS © 2001-2012 The XOOPS Project